【正文】一、内容摘要：如何提高高中学生数学思维的严密性?如何培养高中学生数学思维的深刻性?本文通过对函数关系式与定义域分析，以起到抛砖引玉的作用。
　　关键词：函数定义域、思维品质

　　思维品质，实质是人的思维的个性特征。思维品质反映了每个个体智力或思维水平的差异，主要包括深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性和系统性六个方面。函数在高中十分重要，而函数定义域尤为重要。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
   二、函数同一性与定义域
　　判断函数是否相同，不仅要求函数关系式相同也要求定义域相同，这样不仅
能够保证其值域相同，也能够保证其函数的图象相同。如：
　　例1：判断函数y=x与是否相同。
     解：∵函数y=x定义域为R，
            定义域为
         ∴它们的定义域不同，不是同一个函数
　　上面简单例子说明，在判断函数是否相同时，必须要考虑到函数定义域，这能很好反应学生思维是否具有批判性。另外为了更好说明函数同一性将函数的图象也画出这能够加深学生对函数同一性的理解。
   三、函数关系式与定义域
　　函数关系式由定义域和对应法则组成，所以在求函数的关系式时不仅要求函数关系式同时也要求定义域，特别在求与实际问题有关函数时更要如此。如：
例2：某农民发展家庭养鸡,准备利用现有的34米长的篱笆围成一个矩形的养鸡场,求这个养鸡场的长x和面积y的函数关系式？
　　解：设矩形的长为x米，则宽为(17－x)米，由题意得：
　　      
　　     故函数关系式为：．
　　上面的函数关系式中还未写出自变量的范围。学生的解题不完整思路不严密。因为当自变量取负数或大于17时，y的值是负数，即矩形的面积为负数，而面积不可能为负数，所以还应写出自变量的范围：
　　    即：函数关系式为： （）
　　上面简单例子说明，在用函数模型解决实际问题时，必须要考虑到函数定义域。这能很好反应学生思维是否具有严密性。
   四、函数最值与定义域
　　函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。定义域将直接影响解题结果。如：
　　例3：求函数y=|x|在[－6，5]上的最值．
　　  解：∵ |x|≥0
　　      ∴ 当x=0时，y最小值为0
　　如果不看定义域本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的原因，没有注意到定义域发生变化。这是思维定势表现，也说明学生思维缺乏灵活性对问题理解仅停留在表面上。
　　其实以上结论只是对函数y=|x|在R上适用，而在指定的定义域区[a,b]上，它的最大值应分如下情况：
　　当|a|>|b|时，y最大值为|a|
　　当|a|<|b|时，y最大值为|b|
　　当|a|=|b|时，y最大值为|a|或|b|
　　故本题结论是
　　∵|-6|>|5|
　　∴函数y=|x|在[－6，5]上的上的最小值是0，最大值是|-6|=6．  
　　这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性深刻。
五、函数值域与定义域
　　函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。在求解函数值域时，应充分函数定义域。如：
　　例4：求函数的值域．
　　  错解：令t=,则
　　        ∴ =
　　        故所求的函数值域是[]．
　　  分析：经换元后，应有，而函数在[0,+∞)上是增函数，
　　        所以当t=0时，ymin=0．
　　        故所求的函数值域是[0, +∞）．
　　上面例子说明，定义域将影响值域求解，在解题过程应充分考查定义域，特别是找出题目中隐藏条件，就可以避免产生错误结果。也就是说，学生在解题前应充分考查定义域，善于找出题目中隐藏条件，体现出良好的思维批判性。
   六、函数单调性与定义域
　　函数的单调性也叫函数的增减性，函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。所以讨论函数单调性必须考虑函数定义域。如：
　　例5：求函数的单调区间．
　　  解：先求定义域：
　　      ∵        ∴x>2或x<-4。
　　      ∴ 函数定义域为
　　     令，知x在时，u为减函数，在上 u
         为增函数。
　　   又∵是减函数
       ∴函数在上是增函数，在上是减函数，即函数的单调递增区间，单调递减区间是。
　　在解题时，要充分考虑函数定义域，必须在定义域条件下求函数单调性，否则将出现错解，所以在解题时应重视定义域求解，深入分析单调性区间对定义域的依赖性，同时也体现学生思维深刻性系统性。
   七、函数奇偶性与定义域
　　如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x），（x∈r，且r关于原点对称.）那么函数f(x）是奇函数。
　　如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x），（x∈r，且r关于原点对称.）那么函数f(x）又是偶函数。
　　判断函数的奇偶性，首先应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称，则函数为非奇非偶函数。例如：
　　例6：判断函数的奇偶性．
　　   解：∵函数   的定义域为
　　       ∴ 定义域区间关于坐标原点不对称
　　       ∴ 函数的是非奇非偶函数．
　　 在判断函数奇偶性时应先断定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，这既体现出学生解题思维的系统性也体现出学生解题思维敏捷性，有时候能收到意想不到的效果。
　　由上面分析可知，在判断函数是否相同求解函数函数关系式、最值、值域、单调性、奇偶性等问题中，若能充分考虑函数定义域对解题结果的影响，就能提高学生数学思辨能力，进而全面提高学生思维深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性和系统性，有效完成素质教育。
　　 参  考  文  献
1.王岳庭主编   数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集 
　北京  海洋出版社  1998
2.田万海主编  数学教育学   浙江  浙江教育出版社  1993
3.庄亚栋主编  高中数学教与学（99.2、99.6) 
　扬州  中学数学教与学编辑部出版   1999