【正文】  摘 要：详细介绍了傅里叶级数的课堂实践过程，展示了高等数学情境式教学的基本环节: 创设情景——问题构建——探索交流——效果评价——拓展提升、形成理论。总结了关于情境式教学的思考与感悟，指出情境式教学并非等于激趣引疑，它并不排斥接受式教学等。
　　关键词：情境式 傅里叶级数 教学策略
  中图分类号 G424.0 文献标识码 A
  一、引言
　　《高等数学》是工科学生进入大学首先学习的理科课程，对学生的思维模式、学习习惯、创新意识的养成至关重要。然而，其高度的抽象性又阻碍了其应有价值的发挥，因为抽象的东西本身在现实时间、空间中根本不存在，因而远离大众的生活经验，在大脑里也原本不存在。要理解一种不存在的东西，当然很难。所以，如何化解抽象性带来的理解障碍，是广大数学教师应该认真思考的问题。
　　情境式教学是基于建构主义的一种教育理论，该理论认为: 知识是具有情境性的，是生活、背景和文化产品的一部分，并在活动中不断被运用和发展的。其核心思想是：学习者是学习过程的原动力，学习者将根据个体原有经验进行知识建构，教育工作者的职责就是为学习者创设进行情境学习的环境。因此，在高等数学的教学中，如果能够结合生活实际，恰当创设情境，让学生在一个真实的环境里思考、探索，则是调动学生的主观能动性，帮助学生准确、深刻理解知识的一个重要途径。
　　二、具体案例
  本文主要针对《高等数学》中情境式教学的探索与研究，以傅里叶级数为例，阐述其情景式教学方法的具体过程。
  傅里叶级数被誉为数学美的典型，它用途广泛，意义重大。但是因为该知识本身比较抽象，而学生对其应用背景又缺乏了解，致使他们学习时不能准确理解函数与级数之间的关系，也很难领会展开的意义。而教师在授课时又往往停留在从数学到数学的层面，也就是理论与实际没有很好地结合, 导致学生失去学习的兴趣，学完以后似懂非懂，更谈不上体会它的美和进一步去应用它。为此，我们进行了如下设计：
　　1创设情境
　　播放一段学生熟悉的音乐组合—九月奇迹的演奏，让学生辨认其双排键电子风琴会发出哪些乐器的声音，问学生：为什么电子类乐器能够模拟出各种乐器甚至自然界变化无穷的音色，其原理是什么？我们自己能不能去模拟实现不同的声音呢？ 
　　2问题构建
　　上述问题，需要我们先了解声音的内在结构。事实上，由常识知道，乐音是由周期振动产生的，每个音都对应着一个固定的频率，同时，该频率的“整数倍”所对应的音也含在其中，频率最低的音称为“基音”；其余频率所对应的音称为“泛音”。也就是说，乐音实质上是一系列具有倍频关系的周期波的复合。那么自然会做一个设想，如若通过频谱仪记录某乐器的泛音列，我们可不可以利用多个倍频波的叠加来合成该复合波呢？
　　注意，声音的有关常识和特点，也可以让学生课前通过查阅资料进行了解，教师还要为学生提供良好的辅助条件，包括向学生开出必要的参考文献、相关的专业网站等。帮助学生少走弯路，减少无效劳动，这也有助于激发出更大的探索热情。比如说，在这里，可以提示学生去找声学原理、双排键电子风琴、声音合成等方面的资料。
　　3探索交流
　　（1）获取声源—泛音列的声谱还原
　　合成声音的第一步就是要搭建声音的内在构成，让学生借助于频谱仪，通过实验分析，获得了最简单的声音材质—三角铁的主要的泛音列结构，如下表： 





  表1三角铁泛音频率比及振幅强度
　　（2）泛音生成
　　如何得到这些基音和泛音呢？在周期波中，最容易获取的是什么波呢？换句话说，最常见、最简单的振动形式是什么呢？答案是正弦或余弦振动，称之为简谐振动。所以，选择简谐波来表示这些泛音。电子振荡器一直是获取声音的主要工具，它具有产生声音的两个最基本的参数—频率和振幅。利用7个能发出正弦波的振荡器作为声源，然后依照表1提供的泛音频率比和泛音振幅强度值来调节各个振荡器的参数，获得泛音。
　　（3） 声音合成
　　将上述7个声源混合送出，就获得了三角铁音色的声源部分。另外，还可以借助于Matlab的声音播放函数sound来实现声音再现。教师还可以进一步引导学生在课后编写简单程序，制作简单的合成音乐，更直观深刻地感受波的分解与合成的意义所在。
　　4 效果评价
　　通过上述再现声音的过程，让学生进行总结、评价，并讨论决定声音音色的是什么？为什么同样是唱歌，甚至是唱同样的歌，给人的感觉会迥然不同？如何区分乐音和噪音？如何去除噪音？ 
　　这个环节非常重要，它与学生的元认知水平紧密相关。通过这种反思调节, 一方面可以理性地分析问题解决的特点、过程, 从中获得整合性的问题解决经验, 有利于学习迁移; 另一方面可以判断还需要了解哪些知识, 有哪些启示可以应用到下次探究中。
　　5 拓展提升、形成理论
　　提出问题：大家从声音问题受到什么启发？引导学生发散思维，比如说现代工程技术几乎所有领域都涉及到的信号处理，图像处理与压缩，打击目标的模式识别，以及故障诊断等等，都可以利用周期波的分解与合成。那么，就面临这样一个问题：是不是所有的周期波，都可以分解成简谐波的叠加？从而引出将函数展开成三角级数这一问题。再用问题驱动的方式，逐层深入，寻找确定级数的方法、讨论函数展开的条件， 形成理论体系。
  在探求过程中，三角函数系的正交性是求解系数的关键，但是直接给学员介绍它会显得突兀。我们采用了启发式和研究式的教学方法，引导学员联想到正弦函数和余弦在上的积分为0，再逐步根据它们的周期性和奇偶性等特性，直接探索求系数的方法。最后，再点明利用到的正是被广泛应用的正交性，既锻炼了学员分析问题的能力，又显得顺理成章。
　　三、一些认识和感悟
　　通过上述情境式教学，既让学员体会到了傅里叶级数的美和它的广泛应用，为后继傅里叶变换等内容的学习奠定了基础，同时可以有效地支持探究性学习，对于学生探索意识的形成和实践能力的培养很有帮助。在实践过程中，我们有这样一些感受：
　　1 情境式教学并非等于激趣引疑。其实关于情境式教学的讨论和实践并不少见，但从现状来看，很多教师主要关注于教学导入时的情境激趣引疑，简单认为从一个情境中引出问题就是情境式教学，至于如何建立情境与问题解决的新知识之间的联系，如何提供给学生解决问题的实质性的帮助，则考虑较少，致使情境设置流于形式，教学效果不佳。所以，在进行教学设计时，要从连贯性的角度来精心设计问题和创设意境，情境导入是一个方面，而更重要的是要考虑如何为旧知识向新知识的顺利迁移架设沟通的桥梁, 从而促使学习者利用自己原有认知结构中的相关知识与经验去同化和吸收新知识, 以达到对新的学习任务的有效掌握。比如文献[4]给出了基于先行组织者的优化策略，当然，这里并没有一种固定的教学思维模式, 只要教师在这样一个理念下勤于思考，善于发现，总能够设计出适宜有效的方案出来。
　　2 情境式教学并不排斥接受式教学。不管采用何种教学方式组织课堂，其实一切都取决于学生的主动性，所以，只要能紧紧抓住学生的心理，教学的形式并不是主要的。而且，毕竟学生不是数学家，学生也有层次差异，即使有教师的巧妙引导，也不见得就能顿悟，另外，有些数学知识也并不适宜用情境式的探究性教学。比如在傅里叶级数的教学中，将函数展开的条件就很难启发学员去寻找，至今还有人在研究这一课题。为了加深学员对它及其重要性的认识，可介绍其产生的历史过程，通过拉格朗日和傅里叶观点的不一致而产生争执，导致傅里叶的论著很难发表，激起学员的好奇心：到底他们谁对谁错？然后再给出狄利克雷条件，既让学员认识到该结论的重要性，同时也体会到了科学研究的来之不易。学生就能心悦诚服地跟着教师的讲解，理解其含义并应用它来正确地展开函数。
　　3 完善教学评价体系。运用问题情境式教学法，其目的就是要调动学员课堂学习的积极性，主动参与教员指导下的各种教学实践活动。为此，要完善教学评价体系，将重点放在平时表现上，依据学生的参与状态、交往状态（师生互动，生生互动）、对知识等的达成程度给出评价。我们的做法是采取教员评、同伴评、个人评相结合的方式，给课堂表现分级量化，例如“认真”的C级是“上课无心听讲，不能自主完成作业，极少参与讨论”；“积极”的A级是“积极举手发言，积极参与讨论交流，大量阅读课外读物”；“自信”的B级是“提出自己不同的看法，并作出尝试”；“思维创造性”的A级是“具有创造性思维，能用不同的方法解决问题，独立思考”，等等。
  参考文献：
  【1】 贾新静，李永红. 课堂情境式探究学习浅析[J].基础教育研究，2007,7:19-21.
  【2】 张文文. 电子合成音色的设计初探[J].中国地质大学硕士学位论文,2010.05. 
  【3】 同济大学应用数学系. 高等数学（下）(第6版)[M]. 北京:高等教育出版社,2011:229-236.
  【4】 张琼. 情境式导入的一种优化策略—由先行组织者引发的思考[J]. 教学与管理，2007,1:108-109.
  作者简介：王静, 女, 甘肃武威人，1981年8月出生, 硕士，讲师, 主要研究方向为代数学环模论和数学教育.